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Die 3 Gesetze von Johannes Kepler zur Planetenbewegung

Die Keplerschen Gesetze

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Johannes Kepler
Johannes Kepler (1571-1630)

Die drei Gesetze von Johannes Kepler, die er 1609 in seinem Werk "Astronomia Nova" (Neue Astronomie, I. und II. Gesetz) und 1619 in "Harmonices Mundi" (Weltharmonik, III. Gesetz) veröffentlichte, stellen die erste wissenschaftlich korrekte Beschreibung der Planeten-Bewegung im Sonnensystem dar. Als Ausgangsdaten für Keplers Berechnungen dienten die Beobachtungsergebnisse des dänischen Astronomen Tycho Brahe, für den Kepler zeitweise als Assistent arbeitete. Kepler und Brahe hatten insbesondere die Umlaufbahn des Planeten Mars mit hoher Präzision vermessen, obwohl ihnen dafür noch keine Fernrohre zur Verfügung standen.
Schon um 1509, also bereits ein Jahrhundert vor Kepler, hatte Nikolaus Kopernikus die Theorie des heliozentrischen Weltbilds aufgestellt, in dem die Erde durch die Sonne als Mittelpunkt aller himmlischen Bewegungen ersetzt wurde und das die Grundlage für die Überlegungen Keplers bildete. Kopernikus hatte dazu Ideen aus der Antike weiter entwickelt, aber zur Beschreibung der Planetenbahnen an perfekten Kreisen festgehalten. Auch Kepler hatte zunächst lange versucht, die Umlaufbahnen der Planeten mit regelmäßigen geometrischen Körpern (Platonische Körper) in Einklang zu bringen, aber erst als er stattdessen Ellipsen verwendete, stimmten seine Berechnungen mit der Realität überein.
Es ist übrigens erstaunlich, dass weder Kopernikus noch Kepler ernsthaft mit der katholischen Kirche in Konflikt gerieten, die zu dieser Zeit ja immer noch das geozentrische Weltbild von der Erde als Mittelpunkt des Universums vertrat und keine abweichenden Meinungen tolerierte. Im Gegensatz dazu musste z.B. Galileo Galilei im Jahr 1633 seine Argumentation für das heliozentrische Weltbild, die vor allem durch seine Beobachtungen der Jupiter-Monde gestützt wurde, auf massiven Druck der Kirche hin widerrufen.
Die Keplerschen Gesetze lassen sich auch allgemein auf andere Systeme übertragen, in denen sich Körper um ein Schwerkraft-Zentrum bewegen (z.B. auf die Monde von Planeten oder auf Exoplaneten in fernen Sternsystemen). Streng genommen handelt es sich bei den Keplerschen Gesetzen aber nur um Näherungen, da die Schwerkraft-Quellen auf idealisierte Massenpunkte reduziert werden und die gegenseitige Anziehung der Planeten untereinander vernachlässigt wird. Auch Effekte der allgemeinen Relativitäts-Theorie, die z.B. auf die Bewegung des innersten Planeten Merkur Einfluss nehmen, werden nicht berücksichtigt und einige Kometen, die sich auf Parabel-Bahnen bewegen, stellen ebenfalls Ausreiser dar. Trotzdem sind die Keplerschen Gesetze genau genug, dass noch heute die meisten Raumsonden im Prinzip nach diesen elementaren Lehrsätzen navigieren können. Deshalb gelangte Johannes Kepler noch einmal zu spätem Ruhm, als ein 2009 gestartetes Weltraumteleskop der NASA nach ihm benannt wurde, das zur Suche nach Exoplaneten ausserhalb unseres Sonnensystems dient.

Hinweis:
In den nachfolgenden Grafiken ist die Ellipsen-Form der Planetenbahnen stark übertrieben und nicht maßstabsgetreu dargestellt, um sie deutlicher hervorzuheben. Tatsächlich sind die Umlaufbahnen der meisten Planeten des Sonnensystems auf den ersten Blick nahezu kreisförmig.
Legende:
S: 1. Brennpunkt der Ellipse (Position der Sonne)
F: 2. Brennpunkt der Ellipse
M: Mittelpunkt der Ellipse
P: Position eines Planeten
A, B: Endpunke der Hauptachse
a: Grosse Halbachse (Strecke MA bzw. MB)

I. Gesetz von der Gestalt der Bahn
Gesetz von der Gestalt der Bahn
Ein Planet umläuft die Sonne auf einer elliptischen Bahn

Ein Planet P bewegt sich auf einer elliptischen Bahn um die Sonne, die dabei in einem der Brennpunkte F oder S steht. Genauer betrachtet befindet sich der Brennpunkt der Ellipse nicht exakt im Zentrum der Sonne, sondern am gemeinsamen Schwerpunkt von Sonne und Planet, so dass bei jedem Planetenumlauf auch die Sonne eine leichte Taumelbewegung um den Schwerpunkt ausführt. Da die Sonne jedoch um ein Vielfaches massereicher als alle restlichen Körper des Sonnensystems zusammen ist, befindet sich der Schwerpunkt des Sonnensystems noch innerhalb der Sonnenkugel.
Wie bei jeder Ellipse gilt, dass die Summe aus den Entfernungen PF und PS des Planeten zu den Brennpunkten gleich der Länge der Hauptachse AB der Ellipse ist (PF + PS = AB). Die Abweichung der Planetenbahn von der perfekten Kreisform wird durch ihre Exzentrizität charakterisiert. Dabei kann die Bahnexzentrizität Werte von 0 (Kreis) bis unter 1 (langgestreckte Ellipse) annehmen. Eine Exzentrizität von genau 1 beschreibt dagegen eine parabolische Bahn und noch grössere Werte stehen für hyperbolische Bahnen, die beide keine geschlossenen Umlaufbahnen mehr, sondern einmalige Begegnungen mit der Sonne darstellen und z.B. bei Kometen vorkommen.

II. Gesetz der Fläche
Gesetz der Fläche
Ein Planet bewegt sich umso schneller, je näher er der Sonne kommt

Die Verbindungslinie zwischen der Sonne und einem Planeten P (Fahrstrahl) überstreicht in gleichen Zeitintervallen P1 bis P2 und P3 bis P4 gleich grosse Flächen. D.h. der Planet bewegt sich umso schneller und legt im gleichen Zeitraum eine umso grössere Strecke auf seiner Umlaufbahn zurück, je näher er der Sonne kommt. Diese Beschleunigung ist auf die stärker werdende Anziehungskraft der weniger weit entfernten Sonne zurückzuführen. Im Grunde befindet sich ein Planet auch auf einer stabilen Umlaufbahn ständig im freien Fall um die Sonne herum, ohne jedoch in sie hinein zu stürzen.
Aus physikalischer Sicht ist das II. Keplersche Gesetz letztlich eine Folge aus dem Prinzip der Drehimpulserhaltung und stellt eine Lösung des Zweikörperproblems dar.

III. Gesetz der Umlaufzeiten
Gesetz der Umlaufzeiten
Die Umlaufzeiten der Planeten sind von der Länge der grossen Halbachsen ihrer elliptischen Umlaufbahnen abhängig

Dieses Gesetz bringt die Umlaufzeiten T1 und T2 von zwei Planeten P1 und P2 mit der Länge der großen Halbachsen a1 (Strecke M1P1) und a2 (Strecke M2P2) ihrer elliptischen Umlaufbahnen in Beziehung:

(T1 / T2)2 = (a1 / a2)3

Grob ausgedrückt bedeutet das, je weiter ein Planet im Mittel von der Sonne entfernt ist (präziser: je weiter seine elliptische Umlaufbahn gestreckt ist), desto länger benötigt er für einen kompletten Umlauf. Mit Hilfe dieses Zusammenhangs lassen sich aus den leicht zu ermittelnden Umlaufzeiten der Planeten auch deren relative Abstände von der Sonne berechnen. D.h. kennt man den genauen Sonnenabstand nur eines einzigen Planeten, dann kann man die Abstände aller anderen aus ihrer Umlaufzeit ermitteln. Dieses allgemeingültige Verfahren wird gerne auch auf neu entdeckte Monde von weit entfernten Planeten angewendet, von denen zunächst meist nur die Umlaufzeiten bekannt sind.
Aus physikalischer Sicht ist das III. Keplersche Gesetz eine Näherungslösung des Mehrkörperproblems. Eine genauere Formel erhält man, wenn man gemäß der Newtonschen Himmelsmechanik auch die Massen m1 und m2 der Planeten P1 und P2, sowie die Masse M der Sonne berücksichtigt (Achtung: M steht hier nicht für den Mittelpunkt der Bahnellipse):

(T1 / T2)2 = (a1 / a2)3 * (M + m2) / (M + m1)

Da die Planetenmassen m1 und m2 jedoch gegenüber der Sonnenmasse M sehr klein sind, kann dieser Term gewöhnlich vernachlässigt werden ((M + 0,000...) / (M + 0,000...) ergibt näherungsweise 1).

Weiterführende Links
Planetenbahn
Ein Planet bewegt sich nach den Keplerschen Gesetzen um die Sonne

Allgemeines:
Das Kepler-Museum in Weil der Stadt
Kepler Gesellschaft e.V
Kepler Weltraumteleskop der NASA

 
Grundlagen:
Keplersche Gesetze (Wikipedia)
Ellipse (Wikipedia)
Halbachsen der Ellipse (Wikipedia)
Exzentrizität (Wikipedia)
Drehimpuls/Drehimpulserhaltung (Wikipedia)
Zweikörperproblem (Wikipedia)
Dreikörperproblem/Mehrkörperproblem (Wikipedia)
Platonische Körper (Wikipedia)

 
Biographien:
Johannes Kepler (Wikipedia)
Nikolaus Kopernikus (Wikipedia)
Tycho Brahe (Wikipedia)
Galileo Galilei (Wikipedia)
Isaac Newton (Wikipedia)

 
Animationen:
Java-Applet zum I. Keplerschen Gesetz
Java-Applet zum II. Keplerschen Gesetz

Ich danke dem Physik-Lehrer Herrn Max Pascoe für die Hilfe bei der Korrektur von einigen Unstimmigkeiten auf dieser Seite und hoffe, dass er diese Korrekturen jetzt nicht mehr in den Aufsätzen seiner Schüler vornehmen muss.


 
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