Das Ziegenproblem

Vor einiger Zeit war ich auf einer feucht-fröhlichen Geburtstagsfeier eingeladen und zu solchen Anlässen entwickeln sich gerne schöngeistige Debatten über hoch wichtige Themen aus Politik, Kultur und Wissenschaft. Bei dieser Gelegenheit hat mir ein Kumpel von einer Quizshow im Fernsehen erzählt, bei der die Kandidaten vor eine einfache Wahl gestellt werden und mit der richtigen Entscheidung einen Mörder-Gewinn abräumen können. Angeblich würde es dazu eine Strategie geben, mit der man seine Gewinnchancen erheblich verbessern könne, und jetzt wollte er natürlich wissen, ob und wie das funktioniert. Nachdem ich ihm gönnerhaft versichert hatte, dass mir das Problem und seine Lösung selbstverständlich bekannt seien, musste ich jedoch leider feststellen, dass meine didaktischen Fähigkeiten ein Wenig unter dem fortgeschrittenen Alkoholkonsum gelitten hatten. Deshalb will ich hier noch einmal mein Glück versuchen.

Das US-amerikanische Fernsehquiz "Let's make a Deal" ist eigentlich ziemlich simpel (so wie vieles, was sich dort "Unterhaltung" nennt). Dem Kandidaten werden 3 geschlossene Türen präsentiert, aber nur hinter einer von ihnen versteckt sich der Hauptgewinn. Hinter den beiden anderen Türen befinden sich lebende Ziegen, die als "Nieten" dienen (daher der Name "Ziegenproblem"). Der Kandidat hat zunächst mal nichts Anderes zu tun, als einen Tipp abzugeben, hinter welcher Tür sich sein Gewinn verbergen könnte. Dann wird jedoch eine der anderen Türen geöffnet, hinter der nur eine meckernde Ziege zum Vorschein kommt. Der Moderator darf natürlich nicht die Tür mit dem Gewinn öffnen (sonst wäre es ein Bisschen zu einfach) und auch die vom Kandidaten ausgewählte Tür ist tabu. Jetzt muss sich der Kandidat entscheiden, ob er bei der ursprünglich gewählten Tür bleibt, oder ob er zur anderen, noch geschlossenen Tür wechselt.
Welche Strategie verspricht die höchsten Chancen auf den begehrten Gewinn? Soll man bei der einmal gefällten Entscheidung bleiben, oder sie besser noch mal ändern? Oder ist das vielleicht völlig egal? So führte ein einfaches Spiel zu dem heftig diskutierten "Ziegenproblem" der Wahrscheinlichkeits-Theorie, das auch als "Drei-Türen-Problem" oder nach dem Moderator der Show als "Monty-Hall-Dilemma" bezeichnet wird (Ja, echt, mit sowas beschäftigen sich Mathematiker!).

Um es kurz zu machen: Wenn man seine Entscheidung ändert, hat man eine doppelt so hohe Chance auf den Gewinn (Wahrscheinlichkeit = 2/3), als wenn man bei seiner anfänglichen Entscheidung bleibt (Wahrscheinlichkeit = 1/3). Die Erklärung liegt darin, dass das Aufdecken einer Niete eine zusätzliche Information liefert. Diese Information kann man aber nur nutzen, wenn man sich neu entscheidet. Es ist allerdings nicht unmittelbar ersichtlich, was man damit praktisch anfangen könnte, denn man hat ja ohnehin nur eine Möglichkeit, darauf zu reagieren. Nämlich, indem man zur einzigen verbliebenen Tür wechselt, die aber zunächst mal auch nicht besser zu sein scheint, als die Tür, die man zuerst gewählt hatte. Zum Aufdecken einer Niete muss der Moderator jedoch über das Wissen verfügen, wo sich der Gewinn befindet, und dieses Wissen gibt er zumindest teilweise preis, indem er eine bestimmte Tür aus dem Rennen nimmt und die Wechselmöglichkeiten ganz gezielt einschränkt.
Die Sache wird klar, wenn man alle möglichen Fälle durchspielt. Der Einfachheit halber wählen wir dabei immer zuerst die linke der 3 Türen (Zeigefinger), denn deren Reihenfolge spielt keine Rolle (ein Start bei einer anderen Tür würde völlig gleichwertige Fälle liefern). Der Gewinn ($) kann sich dann entweder hinter der linken (Glückstreffer!), der mittleren oder der rechten Tür befinden. Geöffnete Türen mit Nieten sind durchgekreuzt dargestellt.

Strategie 1: Auswahl immer beibehalten
Die Wahrscheinlichkeit, dass man auf Anhieb die richtige der 3 Türen erwischt, beträgt - wie sollte es anders sein - genau 1/3. Daran ändert sich auch nichts, wenn eine andere Tür geöffnet und eine Niete gezeigt wird. Da der Kandidat die restlichen Türen ignoriert und keine neue Wahl trifft, bleiben seine Gewinnchancen so, wie sie schon am Anfang waren, also bei nur 1/3.

Strategie 2: Auswahl immer ändern
Auch hier beträgt die Chance eines anfänglichen Treffers 1/3. Ändert man seine Auswahl (Pfeile), obwohl man schon richtig lag, dann hat man Pech gehabt, denn hinter jeder der beiden anderen Türen muss sich eine Niete befinden, egal welche davon geöffnet wurde. Dieses Pech hat man aber eben nur in einem der 3 möglichen Fälle. In 2/3 der Fälle hat man zuerst daneben getippt, landet dann aber durch Wechseln zwangsläufig auf dem Gewinn. Man stand ja bereits auf einer der beiden Nieten, die zweite Niete musste aufgedeckt werden und der Gewinn kann nur hinter der anderen geschlossenen Tür sein. Damit liefert diese Strategie auch insgesamt eine Gewinnchance von 2/3.

Es bringt also tatsächlich Vorteile, wenn man einmal getroffene Entscheidungen nicht stur beibehält, sondern hin und wieder auch neue Erkenntnisse berücksichtigt. Das ist eigentlich eine Binsenweisheit, die keine komplizierten Wahrscheinlichkeits-Berechnungen erfordert, aber häufig ist das halt nicht ganz offensichtlich. Alles klar, Mirko?